Warteschlangen Theorie – Der Fluch der Auslastung und Überoptimierung

Die Warteschlangen Theorie (Queuing Theory) ist im Kern eine Sammlung von mathematischen Modellen, um die Auslastungen von Ressourcen zu berechnen und zu optimieren. Dazu setzt die Warteschlangentheorie folgende Einfluss- und Ergebnisgrößen miteinander in Beziehung.

• Auslastung der handelnden Personen / Maschinen,
• Länge der Warteschlange bzw. Größe des Backlogs,
• Wartezeiten bis zur Bearbeitung eines wartenden Kunden / Auftrags.

Als Teilgebiet der angewandten Mathematik, Statistik und Unternehmensforschung liegt der besondere Charme der Warteschlangentheorie darin, dass alle ihre Herleitungen und Aussagen mathematisch bewiesen sind. Das heißt, die Queuing Theory und die daraus resultierenden Aussagen zu leugnen, wäre etwa so als zu behaupten, dass die Erde eine Scheibe sei. Die Aussagen der Warteschlangen Theorie sind außerdem ein wichtiger Eckpfeiler systemischen Denkens. 

Du kannst die Queuing Theory in allen Bereichen anwenden, in denen Aufträge auf begrenzte Kapazitäten treffen. Eine wichtige Annahme dabei ist, dass die Aufträge mit einer variablen Verteilung (statistische Poisson-Verteilung) auftreten. 

• Einkaufen - Im Supermarkt warten Kunden an der Kasse.
• Hotlines - In jeder Hotline hast Du garantiert noch x Personen vor dir.
• Arbeit - Du fragst dich, warum es so lange dauert, bis Kollegen Aufgaben abarbeiten. 

Weitere Anwendungsgebiete der Warteschlangen Theorie findest Du im Bereich der Netzwerk- (Server, Telekommunikation) und vor allem der Produktionsplanung.  

Lass uns die Warteschlangen Theorie an einem einfachen Beispiel anwenden. Nehmen wir an, Du arbeitest an der Kasse eines Supermarktes. Nun möchtest Du wissen, wie hoch denn eigentlich deine Auslastung ist. Dazu greifst Du auf zwei Einflussgrößen zurück, die Ankunftsrate und die Bearbeitungszeit.

• Ankunftsrate - Im Schnitt kommen 12 Kunden pro Stunde an deine Kasse.
• Bearbeitungszeit - Deine Performance-Auswertungen zeigen, dass Du im Schnitt 15 Kunden pro Stunde kassieren kannst. Dein Chef ist ein echter Anhänger des Scientific Management und hat das mit der Stoppuhr gemessen.

Aus diesen beiden Werten kannst Du nun die erste Ergebnisgröße nämlich deine Auslastung berechnen:

• Auslastung (A) - Die Auslastung berechnest Du als Verhältnis der Ankunftsrate zur Bearbeitungszeit. Es resultiert eine Auslastung von 80%. D.h. für deinen übereifrigen Chef, dass Du 20% der Zeit Däumchen drehst

Aus der Auslastung kannst Du nun die durchschnittliche Warteschlange berechnen. Intuitiv könnte man meinen, dass es bei einer 80 prozentigen Auslastung doch keine Warteschlange geben dürfte. 

• Warteschlange (W): Arbeitseinheiten bzw. Aufträge im Rückstau bzw. das Backlog, das auf Umsetzung wartet. Gemäß der Queuing Theory ist die durchschnittliche Warteschlange (W) gleich der Auslastung im Quadrat, dividiert durch 1 minus der Auslastung (A). 

Verrückt oder? Keine Vollauslastung und trotzdem warten im Schnitt 3,2 Kunden auf eine Abfertigung an deiner Kasse. Als wäre das nicht schlimm genug, kannst Du nun die durchschnittliche Durchlauf- und Wartezeit eines Kunden berechnen. 

• Wartezeit (WZ): Die Zeit, bis der Kunde an der Reihe ist. Gemäß der Queuing Theory ist die Wartezeit das Ergebnis der folgenden Berechnungen. 

Das heißt, der Kunde wartet durchschnittlich 16 Minuten. Addierst Du die durchschnittliche Bearbeitungsdauer von 4 Minuten (siehe oben, Du schaffst 15 Kunden / Stunde) ergibt sich eine gesamte Durchlaufzeit (DLZ) des Kunden von 20 Minuten. Lass uns das kurz zusammenfassen:

1. Du hast “nur” eine Auslastung von 80%,
2. Im Schnitt stehen trotzdem 3 Kunden in der Schlange,
3. Die Kunden verbringen durchschnittlich 20 Minuten an der Kasse.

Am Ende der Fahnenstange bzw. Warteschlange sind wir aber noch nicht angekommen, denn Warteschlangen folgen einer “Power-Curve”. 

Warteschlangen steigen in Abhängigkeit der Auslastung exponentiell an. Damit kannst Du schließlich erklären, warum limitierende Faktoren und kritische Ressourcen wie Notärzte und Feuerwehren besser eine sehr geringe Auslastung haben. 

In dem folgenden Video findest Du das alles noch einmal kurz illustriert und erklärt. 

Die Ergebnisse und Einsichten der Warteschlangentheorie sind vielleicht nicht ganz intuitiv. Dazu noch ein paar abschließende Hinweise.

1. Eine wichtige Annahme für die Gültigkeit der Queuing Theory ist die variable Verteilung (statistische Poisson-Verteilung) der Aufträge, die auf einen limitierenden Faktor treffen. Um beim Supermarkt-Beispiel zu bleiben: Kunden kommen unregelmäßig zu dir an die Kasse. 
2. Die Warteschlangentheorie ist einfach Mathe. Ihre Gültigkeit ist von den Mathematikern Felix Pollaczek und Alexander Chintschin bewiesen. Wenn Du dich weiterführend mit den mathematischen Hintergründen der Queuing Theory beschäftigen möchtest, dann findest Du z.B. auf den Seiten der Universität Zürich einen guten ersten Einstieg.
3. Auslastungen kannst Du vielleicht nicht immer exakt berechnen, gerade bei wissenslastigen Arbeiten. Aber ein Gefühl dafür hat doch jeder. Dazu im Fazit ein paar abschließende Überlegungen.

Der geneigte BWLer und (Über)Optimierer empfindet eine zu geringe Auslastung als Verschwendung. Mit Produktivitätsprogrammen und Maßnahmen zur Effizienzsteigerung werden diese vermeintlich unproduktiven Phasen konsequent ausgemerzt. Wenn das jedoch an den falschen Stellen deiner Organisation als “lokale Optimierung” passiert, dann leiden Agilität, Innovation und die strategische Qualität. Dazu ein paar fundamentale Gedanken, die Du ausführlicher in der Grafik unten findest.

Zunächst einmal betrachten wir die Auswirkungen einer zu hohen Auslastung auf dich, dein Team und deinen unmittelbaren Arbeitskontext. Dazu nehmen wir an, dass ihr natürlich alles bearbeitet und Aufträge bzw. Anfragen zur Erledigung mit einer gewissen Varianz bei euch eintreffen.

1. Gemäß der Warteschlangen Theorie führt eine zu hohe Auslastung zu einer Warteschlange bzw. einem Backlog an unerledigten Arbeiten. Das senkt per se die Reaktionsfähigkeit und damit die Agilität deines Teams.
2. Es entstehen Wartezeiten, die zu Unzufriedenheit und Frust bei den Wartenden führen. Die beschweren sich, was wiederum Rückfragen und Arbeit bei dir auslöst und damit wieder deine Auslastung steigert. Wenn das Management involviert wird, entstehen hier gleichzeitig Aufträge, dazu weiter unten mehr.
3. Gleichzeitig führen Arbeitslast und hohe Auslastung zu Stress der Umsetzenden. Stress macht bekanntlich krank, was mit zeitlicher Verzögerung wiederum Burnout und Ausfälle steigert und die Auslastung nach oben treibt. 
4. Die hohe Auslastung, der Druck führen dazu, dass Du keine Zeit mehr für Innovation und kontinuierliche Verbesserungen findest. Stattdessen werden Pflaster drüber geklebt und Sachen abgearbeitet. Dein Team versinkt in einem rein reaktiven Modus. Darunter leidet die Qualität, was mit zeitlicher Verzögerung zu Defekten und Rückfragen führt. Diese erhöhen wiederum die Auslastung. 

Ein ziemlicher Schlamassel bzw. mächtige systemische Wirkungskette mit sich gegenseitig verstärkenden negativen Effekten. Allerdings wird uns das komplette Ausmaß erst bewusst, wenn wir anfangen, auch weitere Ebenen der Organisation zu betrachten. Der Einfachheit halber nehmen wir an, es gäbe nun nur noch eine darüber liegende Ebene des Managements. 

Lass uns das oben begonnene Beispiel nun noch etwas weiterführen und das Management deiner Organisation einbeziehen. 

1. Wartende Kollegen eskalieren offene Anfragen an das Management. Somit entstehen auch dort Arbeitsaufträge, die Auslastung steigt. Es setzt sich eine ähnliche Wirkungskette wie bei dir auf Teamebene ein.

2. Mit steigender Auslastung des Managements steigt auch die Wartezeit für andere offene Aufgaben. Aus Zeitgründen werden Probleme auch hier nicht ganzheitlich gelöst, sondern eher “mit der heißen Nadel” gestrickt. 

3. Es bleibt weniger Zeit für ganzheitliche Lösungen, strategisches Arbeiten und wichtige Zukunftsfragen. Wichtige Diskussionen werden hinausgezögert oder Entscheidungen zwischen Tür und Angel getroffen. Das wirkt sich ebenfalls auf die Agilität, aber auch auf die strategische Qualität deiner Organisation aus.

4. Die fehlende Strategie, damit einhergehende Priorisierungen und Entscheidungen führen direkt und indirekt dazu, dass die Auslastung der umsetzenden Teams immer weiter steigt. 

Eine anstrengende und beschwerliche Abwärtsspirale, die zu Überlastung und zum Burnout einer Organisation führt.

Zum Abschluss ein paar Überlegungen, wie Du mit der Warteschlangen Theorie als Ausgangspunkt eine dauerhaft hohe Agilität und strategische Qualität deiner Organisation erreichst.

1. Auslastung des Managements < 50%: Wenn es nach der Warteschlangen Theorie geht, dann sollten wir das Management als kritische Ressource für eine hohe strategische Qualität sehen. Das sollte im Umkehrschluss heißen, dass das Management eine maximale Auslastung von 50% hat. Erstens, um kurzfristig Eskalationen zu lösen (die aufgrund von ab-geteilter Arbeitsorganisation immer wieder auftreten) und Agilität zu fördern. Zweitens, damit ausreichend Zeit für strategisches Arbeiten und Denken bleibt, um Organisationen nachhaltig zu verbessern.

Wenn die Top-Experten immer Zeit haben, kann jedes auftretende Problem schnell gelöst werden.

Gunter Dueck

2. Delegation und Entscheidungsautonomie - Je besser die Delegation und je höher die Entscheidungsautonomie, desto geringer die Eskalationen. Das heißt, das Management sollte sich vor allem darauf konzentrieren, einen Rahmen zu schaffen, in dem gemeinsames Verständnis gedeiht, schnelle Entscheidungen getroffen werden können und in dem Informationen wirklich zirkulieren. 

3. Strategische Ent-scheidungen treffen. Hohe Auslastung ist auch eine Folge von gewachsenem Erfolg: Mehr Kunden, mehr Produkte, eine größere Organisation. Da hilft es, echte strategische Ent-scheidungen zu treffen und zu entscheiden, was künftig NICHT mehr gemacht wird. Sozusagen ein Frühjahrsputz. Denn wenn Produkte, Angebote, Abläufe erst einmal auf den Weg gebracht werden, nehmen diese auf einmal ein sonderliches Eigenleben an. Und irgendwann kann dir keiner mehr die Frage beantworten, warum und wofür es das noch braucht.

4. Optimieren ja, aber wofür. Maßnahmen zur Optimierung sind super. Die Frage ist nur, was Du optimieren willst. Wenn Du die Agilität und Qualität deiner Organisation optimieren willst, dann zeigt dir die Warteschlangen Theorie, dass dieser Weg über eine Optimierung der Auslastung führt. Entsprechend sollten sich Maßnahmen vor allem daran messen lassen, wie sie die Auslastung senken. Stattdessen zielen viele Maßnahmen und lokale Optimierungen darauf ab, mehr Output mit dem gleichen Einsatz zu erreichen. Also schlussendlich die Auslastung zu erhöhen. “You get what you ask for”.  Zum Aspekt der Überoptimierung hat auch Nassim Nicholas Taleb  ein paar interessante Überlegungen in seinem Buch “Antifragilität”. 

5. Persönliche Perspektive erweitern  - Viele von uns sind mit der Haltung groß geworden oder als BWLer verzogen (ich bin einer, ich darf das sagen), alle Arbeitsvorgänge unter dem Aspekt der Optimierung und Effizienzsteigerung zu betrachten. “Wenn jemand nix schafft, dann ist das doch Verschwendung.” Mit der Warteschlangen Theorie hast Du noch ausreichend gute Argumente für einen bewussten und kontrollierten  Müßiggang. Denn so erhöhst Du die Agilität, Qualität und Innovationskraft. 

6. Mehr Leute? Nein. - Unter dem Druck der hohen Auslastung wird oft der Ruf nach “mehr Leuten” laut, also reiner “brute force”. Das ist jedoch in mehrfacher Hinsicht kontraproduktiv. Erstens löst Du das Problem möglicherweise nicht wirklich, sondern klebst nur ein Pflaster drüber. Zweitens führen mehr Leute kurzfristig wiederum zu mehr Auslastung an wichtigen Stellen und Engpässen. Und drittens erhöhen mehr Leute insgesamt die Komplexität, den Abstimmungsaufwand und führen gerade in kreativen / wissenslastigen Arbeiten nicht zu einer Verbesserung.  

7. Auslastung von über 80% ist ver-rückt - Zumindest wenn Du mit wissenslastigen Tätigkeiten konfrontiert bist, bei denen schon die Erledigung einer Aufgabe eine Varianz hat. Das ist nunmal ein großer Unterschied zum Scientific Management und der Idee, dass es eine idealen vorgeschriebenen Lösungsweg zu jeder Aufgabe gibt. Wenn dein Team dann noch reaktiv arbeitet, d.h. nicht alle Aufträge planen kann, weil es ein laufendes Produkt betreut, Anfragen beantwortet oder Bugs fixt , dann solltest Du nur 60% der Zeit wirklich planen. Zumindest solange Du Qualität und Agilität für deine Organisation beanspruchst. 

8. Lernen und Kreativität brauchen Zeit - Zeit ist sicher die wertvollste Ressource in vielen Unternehmen. Wenn Du die Warteschlangen Theorie ernst nimmst, dann siehst Du, in welche Abwärtsspirale dich eine zu hohe Auslastung führen kann. Ein bewusster Konter wäre sprichwörtlich inne zu halten und sich Zeit zu nehmen, Bottlenecks zu identifizieren und wirkliche Entscheidungen zu treffen, was Du in Zukunft vielleicht auch einfach einmal sein lassen kannst.

Ein besonderer Gedanke noch zum Abschluss für das Management von Scrum-Teams, die ein kommerzielles Produkt betreiben und weiterentwickeln. Denn hier solltest Du mit der Queuing Theory im Hinterkopf die Auslastung wie folgt steuern.

1. Keeping the lights on, Annahme 20% - Wie viel Zeit braucht das Team für Support und die Erledigung von reinen Routineaufgaben? Nehmen wir an, das macht 20% deiner Arbeit aus.

2. Planning, 50-60% - Im Planning solltest Du nur so viele Aufgaben priorisieren, wie Du mit 50-60% Auslastung erreichen kannst. Du bist mit ad 1 somit bei 80% Auslastung. Bereits eine solche Auslastung zieht gemäß der Warteschlangen Theorie Warteschlangen und Wartezeiten nach sich. 

3. Gut priorisiertes Backlog - Wenn Teams doch früher fertig sind, ziehen sie sich in Absprache mit dem Product Owner weitere Aufgaben aus dem Backlog. 

Es hat einen guten Grund, dass die Queuing Theorie ein zentrales Grundprinzip von LeSS ist, meinem favorisierten agilen Scrum Framework. Und warum Lean Experten die Überlastung einer Organisation (“Muri”) als eine der zentralen drei Verschwendungen betrachten. Dabei geht es nicht darum, die Warteschlangentheorie als eine exakte Wissenschaft zu betrachten. Sondern vielmehr darum, ein grundlegendes systemisches Verständnis dafür zu entwickeln, dass sich eine zu hohe Auslastung extrem negativ auswirkt. Zusammen mit einem grundlegenden Verständnis für systemisches Denken und der “Theory of Constraints” ist die Warteschlangen Theorie ein Eckpfeiler dafür, agile und vor allem lernende Organisationen zu entwickeln. 

Viel Erfolg dabei.